おっさんin代数幾何ワールド（途中まで）

いや、そういうネーミングはやめた方がいいと娘に言われそうであるが。
「新数学読書法」の実践結果を書かなければなるまい、と。
元ネタはハーツホーンの代数幾何学（の日本語訳の1巻）である。
もう、何のブログだかわからなくなりそうだが。
　
第1章　多様体
アフィン多様体とはA^nの既約閉部分集合のこと、準はその開部分集合。
射影多様体とはP^nの既約閉部分集合のこと、準はその開部分集合。
ここで、位相はZariski位相。
既約な閉集合には素イデアルが対応する。
なお、（準）射影多様体は、アフィン多様体と同相な開集合で被覆される。
閉集合には、それぞれ、アフィン座標環A(Y)、斉次座標環S(Y)が付随する。
　
正則関数は適当な近傍で f/g のように書ける関数。
多様体Yには、正則関数の環O(Y)、Y上のPの局所環O_P、Yの関数体K(Y)が付随する。
これらは座標環と密接につながっている。
（例：O(Y) 〜 A(Y) 。まあ、なんかそんな気はする。）
　
2つの多様体間で、正則関数を正則関数に移すような連続関数を、多様体間の射とよぶ。
2つの多様体間で、開部分集合から開部分集合への射の同値類を有理写像とよぶ。　
（同値とは、「重なった定義域で一致するなら同じとみなす」というもの。）
有理写像は、一般には写像ではない。
有理写像の像が稠密なとき、支配的という。
　
2つの多様体間で、支配的な有理写像と関数体間の準同型には一対一の関係がある。
　
A^n 内の r 次元アフィン多様体のイデアルを生成する元をf_iとする。
このとき、Jacobi行列 df_j/dx_i （dは本当は丸い奴）の階数が n - r のとき、各点で、
あるいは全体で、Yは非特異という。
O_P が正則局所環のときYは非特異になる。
Yの特異点の集合はYの真部分閉集合である。
　
O_P を m 進位相に関して完備化する。
それらが等しいとき、解析的に同型という。いや、ほんと、落ち着いてほしい。
　
K を 体 k 上の超越次数1の有限生成拡大体とする。
C_K を K/k の離散付値環すべてのなす集合とする。
で、その C_K やその開集合を抽象非特異曲線とよぶのかなと。
すると、すべての非特異準射影曲線はある抽象非特異曲線に同型である。
C_K はある非特異射影曲線に同型である。ご同慶の至りである。
　
以上より、次の3つの圏が同値となる。
(1) 非特異射影曲線、支配的射
(2) 準射影的曲線、支配的有理写像
(3) k 上の1次元関数体、k 準同型
　
重複度をうまく定義するとベズーの定理の拡張が得られる。
　
第1章一応終了。