おっさんin代数幾何ワールド（途中まで）4

第2章　スキーム　2.4　分離射と固有射

射 f : X --> Y に対し、対角射 Δ : X --> X ×_Y X は、射影との合成が恒等射になる。
Δが閉埋め込みのとき、射 f は分離的であるという。
このとき、X は Y 上分離的であるという。
スキーム X が分離的であるとは、Spec Z 上分離的という意味。
　
f がアフィンスキームの任意の射のとき、f は分離的である。
f が分離的であるのは、Δの像が閉部分集合のとき、そのときに限る。
　
f : X --> Y がスキームの射で、X がネーターとする。
f が分離的であるのは、次の条件が満たされるとき、そのときに限る。
任意の体 K と K を商体に持つ任意の付値環 R に対し、i : Spec R --> Spec T が
f に対して左リフト性を持つようなリフトは高々1つである。
　
スキームをすべてネーターとすると：
(1) 開および閉埋め込みは分離的。
(2) 二つの分離的な射の合成は分離的。
(3) 分離射は基底変換に対して安定。
(4) f : X --> Y、f' : X' --> Y' 基底スキーム S 上の分離射とすると、
　　f × f' : X ×_S X' --> Y ×_S Y' も分離的。
　　（分離射のファイバー積は分離的。）
(5) g f が分離的なら、f も分離的。
(6) f が分離的であるのは、V_i で f^{-1}(V_i) --> V_i が分離的であるようなものに
　　覆われるとき、そのときに限る。
　　（分離性は底空間上での局所的性質である。）
　
f : X --> Y が、分離的、有限型、普遍的に閉であるとき、固有であるという。
　
有限型の射 f が固有であるのは、i : Spec R --> Spec T が f に対して
左リフト性を持つときであり、そのときに限る。
　
スキームをすべてネーターとすると：
(1) 閉埋め込みは固有。
(2) 二つの固有射の合成は固有。
(3) 固有射は基底変換に対して安定。
(4) 固有射のファイバー積は固有。
(5) g f が固有で g が分離的なら、f も固有。
(6) 固有性は底空間上での局所的性質である。
　
Y がスキームのとき、Y 上の n 次元射影空間 P^n_Y を P^n_Z ×_{Spec Z} Y とする。
f : X --> Y が、閉埋め込み i : X --> P^n_Y、p : P^n_Y --> Y に分解するとき
f は射影的であるという。
f が開埋め込みと射影的射に分解するとき準射影的という。
　
ネータースキーム間の射影的射は固有である。
ネータースキーム間の準射影的射は有限型かつ分離的である。
　
t : Var(k) --> Sch(k) の像は k 上の準射影的整スキームの集合になる。
射影的多様体の集合の像は射影的整スキームの集合になる。
特に、多様体の像は k 上有限型の整分離的スキームである。
　
k 上有限型の分離的整スキームを抽象多様体という。
それが k 上固有のとき、完備という。