おっさんin代数幾何ワールド（途中まで）6

どこまで続くのかと言うと第2章が終わるまでである。
　
第2章　スキーム　2.6　因子
スキーム X が余時限1で正則（非特異）とは、O_x で次元1であるものが
すべて正則であるものをいう。

X は次の条件を満たすとする：　
　(*) X はネーターで、整かつ分離的なスキームで余次元1で正則。
X 上の素因子とは、余次元1の閉かつ整である部分スキーム Y のことである。
Weil因子とは素因子で生成された自由アーベル群のことで Div X と書く。
Weil因子はD = Σn_i Y_i のように書けるが、すべての n_i がゼロ以上のとき、
D は有効であるという。
Y が X 上の素因子であるとき、離散付値 v_Y が唯一決まる。
（それにしても、「離散付値」を1文字づつ「はなれる、ちる、つける、あたい」として
　変換したり削除したりしなければならないのはいったいどうしたことだ。）
　
X が(*)を満たすとし、f がゼロでない有利関数とする。
このとき、 (f) = Σv_Y(f)・Y　を f の因子という。
関数の因子と等しい因子は主因子とよばれる。
　
(f/g) = (f) - (g)
　
2つの因子 D、D' は、その差が主因子のとき、線形同値といわれ、D 〜 D' と書く。
Div X / 〜 は、因子類群といわれ、ClX と書く。
　
A がネーター整域とする。A がUFDであるのは、X = Spec A が正規で ClX = 0 のとき、
そのときに限る。
　
X を P^n_k とする。 D = Σn_i Y_i に対して、deg D = Σn_i deg Y_i とする。
ただし、deg Y_i は Y_i の超局面としての次数である。
H は x_0 = 0 で定義される超平面とする。
(1) D 〜 deg D ・ H
(2) ゼロでない f に対し、deg(f) = 0
(3) deg : ClX --> Z は同型
　
X を(*)をみたすものとｓ、Z を X の固有な閉部分集合、U = X - Z とする。
(1) D -> Σ n_i(Y_i ∩ U) で定義される全射準同型 ClX --> ClU がある。
(2) codim(Z, X) >= 2 なら上は同型。
(3) Z が余次元1の既約な部分集合のとき完全系列
　　　Z --> ClX --> ClU --> 0
　がある。
　
X が(*)を満たすものとする。
すると、X × A^1 も(*)を満たし、ClX 〜 Cl(X × A^1)
　
大人たち（ハーツホーン先生たち）はいったい何の話をしているのだろう。
　
k 上の曲線とは k 上有限型である整分離スキーム X で次元が1のもののことである。
X が k 上固有であるとき、X は完備であるという。
X のすべての局所管が正則局所環であるとき、X は非特異であるという。
　
X を k 上非特異曲線で、関数体 K をもつものとすると、以下の条件は同値である。
(1) X は射影的
(2) X は完備
(3) X 〜 t(C_K)
　
X を k 上甘美な非特異曲線とし、Y を k 上の任意の曲線、f : X --> Y を射とする。
f(X) は点か Y であり、後者の場合、K(X) は K(Y) の有限拡大体であり、
f は有限射、Y も完備となる。
　
f : X --> Y が曲線の有限射のとき、f の次数を [K(X) : K(Y)] と定義する。
　
f : X --> Y が非特異曲線の有限射のとき、f^* : Div Y --> Div X が定義できる。
これは準同型 f^* : ClY --> ClX を誘導する。
　
f : X --> Y を非特異曲線の有限射とする。
すると、deg f^*D = deg f ・ deg D
　
完備非特異曲線 X 上の主因子の次数はゼロ。
deg : ClX --> Z は全射準同型になる。
　
X をスキームとする。
U = Spec A 。
S は A の言で零因子でないものの集合。　
K(U) は A の乗法系 S による局所化とし、A の全商環とよぶ。
S(U) は O_X(U) の元で x ∈ U の局所環 O_x で零因子でないものの集合とする。
S(U)^{-1}O_X(U) は前層をなし、その付随する環の層 K を全商環の層とよぶ。
K^* は K の可逆元からなる層。
O^* は O の可逆元からなる層。
　
層 K^*/O^* の大域切断をCartier因子という。
K^*(X) --> K^*/O^*(X) の像に含まれているとき、主という。
2つのCartier因子の差が主であるとき線形同値であるという。
　
X が整分離的ネータースキームで、すべての局所環がUDFとする。
すると、Div X と K^*/O^*(X) は同型で、主Weil因子は主Cartier因子に対応する。
　
主因子で割ったCartier因子の群を CaClX と書く。
（「あっ。塩化カルシウム？」と叫び出すのは私だけではあるまい。）
　
L と M を環付空間 X 上の可逆層としたとき、L (×) M もそうである。
X の可逆層 L^{-1} で L (×) L^{-1} 〜 O_X となるものがある。
　
X 上の可逆層の同型類が (×) によってなす群を Picard群といい、Pic X と書く。
　
D をスキーム X 上のCaritier因子で、(U_i, f_i) で表されているとする。
全商環の層 K の部分層 L(D) を U_i 上で f_j^{-1} で生成される K の部分 O_X 加群とする。
これを D に付随する層とよぶ。
　
X をスキームとする：
(1) L(D) は X 上の可逆層である。
　　D -> L(D) は X 上の Cartier因子と K の可逆部分層の間の1対1対応を与える。
(2) L(D_1 - D_2) 〜 L(D_1) (×) L(D_2)^{^1}
(3) D_1 〜 D_2 となるのは、抽象的な可逆層として L(D_1) 〜 L(D_2) であるとき、
　　そのときに限る。
　
D -> L(D) は CaclX から Pic X への単準同型を与える。
X が整スキームのとき、上の CaclX --> Pic X は同型である。
　
X を整分離的ネータースキームで局所分離的なものとすると、自然な同型 ClX 〜 PicX がある。
　
X = P^n_k とすると、X 上の可逆層はある整数 l に対し O(l) と同型になる。
　
スキーム X 上のCartier因子が (U_i, f_i) で表されていて、すべての f_i ∈ O_{U_i}(U_i) のとき、
有効であるという。このとき、付随する余次元1の部分スキーム Y を f_i で生成されるイデアル層
I により定義される閉部分スキームと定義する。
　
D をスキーム X 上の有効Cartier因子とし、Y を付随する局所的に主な閉部分スキームとする。
ことのき I_Y 〜 L(-D) 。