おっさんin代数幾何ワールド（途中まで）8

苦節2ヶ月、あと2節。
スキームと聞いて、ベンガーナ王国の戦車隊長アキームを思い出すのは私だけではあるまい。
アキームを見てヤマトの真田志郎を思い出すのは私だけではあるまい。
真田さんと言えば「こんなこともあろうかと」が有名だが、私の心に残っているのは
「機械が人間を殺す、、、そんなことがあってよいものか」である。
数学がわからない、、、そんなことがあってよいものか。
数学は俺にとって、屈、、、。
　
第2章　スキーム　2.8微分
　
A を（可換）環、B を A 代数、M を B 加群とする：
d : B --> M で次の条件を満たすものを A 導分という。
(1) 加法的
(2) d(bb') = bdb' + b'db
(3) da = 0 (a ∈ A）
　
A 導分 d : B --> Ω_{B/A} 次の条件を満たすとき、Ω_{B/A} を相対微分形式加群という。
任意の導分 d' : B --> M に対し、d' = f d となる f : Ω_{B/A} --> M が一意的に存在する。
　
I を Δの像でのΔ(X) のイデアル層とする。このとき、
Ω_{X/Y} = Δ^*(I/I^2) を X の Y 上の相対微分の層という。
　
f : X --> Y、g : Y' --> Y、f' : X' = X ×_Y Y' --> Y' とする。
すると、Ω_{X'/Y'} 〜 g'^*(Ω_{X/Y}) 。
（ただし、g' : X' --> X は第一成分への射影。）
　
f : X --> Y、Z を X のイデアル層 I で定義される閉部分スキームとする。
すると、Z 上の層の完全列が存在する。
I/I^2 --> Ω_(X/Y) (×) O_Z --> Ω_{Z/Y} --> 0
　
A が環、Y = Spec A、X = P^n_A とする。このとき、X 上の層の完全列が存在する。
0 --> Ω_{X/Y} --> O_X(-1)^{n+1} --> O_X --> 0
　
代数閉体 k 上の抽象的な多様体 X が非特異であるとは、すべての局所環が
正則局所環であること。
（台数兵隊 k 上の中小的な多様体 X が非得意であるとは、すべての局所間が
　生息局所間であること、、、。いい加減にしてほしい。）
　
X を既約な分離的スキームで代数閉体 k 上有限型であるものとする。
このとき、Ω_{X/k} が階数 n = dim X の局所自由層であるのは
X が k 上非特異であるとき、そのときに限る。
　
X が k 上の多様体であるとき、X の稠密な開部分集合で非特異なものがある。
　
X が k 上の非特異多様体、Y ⊂ X がイデアル層 I で定義される既約な閉部分スキームとする。
そのとき、Y が非特異であるのは、以下が成り立つとき、そのときに限る。
(1) Ω_{Y/k} が局所自由。
(2) 0 --> I/I^2 --> Ω_(X/k) (×) O_Y --> Ω_{Y/k} --> 0　が完全。
　　さらに、I は局所的に r = codim(Y, X) 個の元で生成され、
　　I/I^2 は Y 上局所自由な層で階数は r となる。
　
X を P^n_k の非特異閉部分多様体とする。
このとき、超平面 H で X を含まず、スキーム H∩X はすべて正則であるようなものがある。
この超平面の集合は、完備線形系 |H| の中で稠密な開部分集合をなす。
　
X を k 上の非特異多様体とする。
X 上の接層を F_X = Hom_{O_X}(Ω_{X/k}, O_X) と定義する。
これは階数 n = dim X の局所自由層である。
また、X の標準層を ω_X = Λ^nΩ_{X/k} と定義する。
これは X 上の可逆層となる。
X が射影的で非特異のとき、X の幾何種数を p_g = dim_kΓ(X, ω_X) と定義する。
　
X および X' を2つの双有理同値な k 上の非特異射影多様体とする。
このとき、p_g(X) = p_g(X')
　
Y を k 上の非特異多様体 X の非特異部分多様体とする。
このとき、局所自由層 I/I^2 を X における Y の余法線層という。
この双対 N_{Y/X} = Home_{O_Y}(I/I^2, O_Y) を X における Y の法線層という。
これは階数 r = codim(Y, X) で局所自由である。
　
Y を k 上の非特異多様体 X の余次元 r の非特異部分多様体とする。
このとき、ω_Y 〜 ω_X (×) Λ^r N_{Y/X} 。
r = 1 のとき、Y を因子と考え、L を X 上の付随する可逆層とすると、
ω_Y = ω_X (×) L (×) O_Y 。
　
局所環 A が depth A = dim A であるとき、コーエン・マコーレーという。
（公園真高齢ではない。）
すべての局所環がコーエン・マコーレーのスキームはコーエン･マコーレーという。
　
Y を k 上の非特異多様体 X の閉部分スキームとする。
Y が X で局所完全交叉とは、X 内の Y のイデアル層 I_Y がすべての点で局所的に
r = codim(Y, X) 個の元で生成されているときをいう。
　
Y を k 上の非特異多様体 X の局所完全交叉部分スキームとする。すると、
(1) Y はコーエン･マコーレー。
(2) Y が正規であるのは、余次元1で非特異のとき、そのときに限る。
　
X を k 上の非特異多様体、Y ⊂ X を非特異閉部分多様体でイデアル層 I を持つものとする。
π : X~ --> X を I でのブローアップとし、Y' をイデアル層の逆像 I' = π^{-1}I・O_{X~}
によって定義される部分スキームとする。すると、
(1) X~ も非特異。
(2) Y' は誘導される射影 π : Y' --> Y で I/I^2 に付随する P(I/I^2) に同型。
(3) (2)の同型で N_{Y'/X~} は O_{P(I/I^2)}(-1) に対応する。