|x - 1| + |x - a| = 2a　（もう少し）

日記

いや、もういいです？
あと、少し。
　
えーと、1とaに紐を引っ掛けて、、、だった。
この問題のちょっと嫌なところは、「1とa」のように対称でないところだ。
しかし、もし、1とaの中点から問題を眺めたら、きっと、きれいになるはずだ。
　
で、問題。

x + b + x - b = 2c

これも図形的に考えれば、
　
b > c のとき、　解なし
b = c のとき、　-b ≤ x ≤ b
b < c のとき、　x = c, -c
　
であることがすぐわかる。きれいである。
そこでもとの問題、

x - 1 + x - a = 2a

に戻ると、aが1より大きかろうが、小さかろうが、その中心(a + 1)/2から見れば、
1とaはその両側同じ距離のところにある。
だから、原点を(a + 1)/2に移動させると、題意のxは、a, -aになる。
原点を戻すと、a + (a + 1)/2 = (3a + 1)/2、-a + (a + 1)/2 = (-a + 1)/2。
ま、こんな感じですな。
　
ついでに言うと、a > 1/3 のとき、上で考えた紐の折り目は楕円を描く。
だって、2点からの距離の和が一定の点は楕円を描くから。
したがって、次のような解答も成り立つ、かな（笑）。
　

x - 1 + x - a = 2a のxを複素数の領域まで拡張すると、a > 1/3 のとき、

xは複素平面上で、焦点を1とa、長軸の長さを2aとする楕円を描く。
方程式の解は、この楕円と実軸の交点のxであるので、
±a + (a + 1)/2 = (3a - 1)/2, (-a + 1)/2
　
さあ、こんな解答だったら、何点になるだろう？