|x - 1| + |x - a| = 2a

出典は、啓林館のマスグレードという問題集。
書店では売っていないが、注文すれば別冊解答なしで売ってくれるらしい（未確認）。
　
で、普通に場合分けすればいい。
　
a < 1/3 のとき、　解なし
a = 1/3 のとき、　1/3 ≤ x ≤ 1 を満たす任意のx
a > 1/3 のとき、　x = (3a - 1)/2, (-a + 1)/2
　
しかし、他に手はないか、なんか、考えちゃった。
「|A|^2 = A^2」を使えば、絶対値を消すことができる。
そうやって、式変形すると、3a - 1 ≠ 0 のときは、ちゃんと2次方程式
(2x - 3a + 1)(2x + a -1) = 0
になるでわないか。
だから、3a = 1 の場合を別にすると、x = (3a - 1)/2, (-a + 1)/2 が出る。
ただしこれは必要条件。
こいつらがちゃんと解になってるかどうか、元の式に代入すると、a > 1/3 という条件が出る。
う゛ー、めんどくせ。場合分けの方が楽だ。
　
で、図形的解法ってのも考えた。
そのため、まず、ウォーミングアップ。
たとえば、|x - 1| + |x - 2| = 3 という問題は、
「1までの距離と2までの距離の合計が3になる点を求めよ」ということだ。
「長さが3の紐を数直線の1と2にひっかけてピンと伸ばして、その折れ目がどこにあるか」と
考えることもできる。

すると、1より小さい方に1つ（0ですね）、2より大きい方に1つ（3です）解があるのがわかる。
今の場合、紐の長さが十分だったから、答が2つあったが、紐の長さが1より短い場合、つまり、
問題が、|x - 1| + |x - 2| = 1/2 なんかだと答はなくなってしまう。

もし、紐の長さが1ぴったりだと、紐は折れず、1と2の間にピンと張られる。
この場合、1と2の間のどこも「答」と考えられる。
だって、そこから「1までの距離と2までの距離の合計」は、必ず1になるから。
アップ終了。
　

x - 1

x - a

= 2a では、引っ掛ける点が1とaで、しかも、紐の長さが2a（つまり、

当然aによってかわる）である、と。
（ぱっと見、aが負ってことは、なさそうなので、考えない。）
aが1より大きいか小さいかで場合分けが必要だが、はじめは、1より小さいと考えよう。
すると、1とaとの距離は 1 - a で、これより紐の長さが短いと答はなくなってしまう。
それは、1 - a > 2a のとき。つまり、a < 1/3 では解がないことがわかる。
1 - a = 2a のとき、すなわち、a = 1/3 のときは、紐がピンと張った状態だから、
答は、 1/3 ≤ x ≤ 1 を満たす任意のxとなる。
a > 1/3 のときは、図形的に計算すれば、中一でも、x = (3a - 1)/2, (-a + 1)/2 と出せる。
aが1より大きいとき、1とaの立場は逆転するが、それでも計算すると、同じ式になり、
x = (3a - 1)/2, (-a + 1)/2 と出せる。
あ、a = 1 も同様。
　
う〜ん。だから何って話ですね。
　