素数

！！！注意！！！
以下はアヤシイ話なので、数学を勉強中の人は鵜呑みにしないように。
間違ってたらごめんなさい。やさしく教えてください。
！！！注意！！！
　
最近、ようやく「代数入門　堀田良之著」を読み終えた。
ただし、最後の方はかなりアヤシイ。そこで、最初から読み直して
みようとして気がついたのだが、素数の定義って、
「素数はZの既約元」ってことを言ってるわけだから、
「素数が素元であること」は、別に証明しなければならないことだ
と気がついた。（違ってます？）
「代数入門」の論理に従うなら、
　
　Zはユークリッド整域　→　だから単項イデアル整域　→　
　だから素元分解整域　→　だから既約元（素数）は素元
　
ということになるのだろうか。
と思って、前に読んだ「初等代数学　硲文夫著」を読み返してみた。
すると、ああ、素数が素元であることの証明が書いてある。
う〜ん、ちゃんと読んでないんだな〜。
　
硲先生の本の論理は、
　
　Zはユークリッド整域　→　（だから単項イデアル整域）　→　
　だから既約元は素元　→　だからZは素元分解整域
　
と読める。
順番の違いは、「一般論が先かどうか」の問題だろう。
　
整数を特徴づけているのは、「小学生式割り算の存在」なのか。
なるほどーーー。と納得してしまった。
　
ちなみに、息子に、「3のあるべき乗」が「5のあるべき乗」で割り切れないと
いうことは、絶対に確かなのか？証明はできるのか？と聞いてしまった。