理系大学生のための数学入門的な何か（？）2

まず、教える人の性格がある。
特に、数学を純粋な理論として教える先生と、応用を考えて教える先生がいる。
それだけで大きな違いが出る。
実は、私が受けた授業は、応用より理論を重視していたような気がするので、
「応用を考えた授業」のことはよくわからないのだが。
　
ま、具体的な話をしよう。
まず、解析だ。これは、高校で言うところの微積分にあたる。
だから、私はものすごい微分法や積分法を習うのかと思っていたら、
はじめの頃は、何やら「数列だか級数の話」をずーーーっとやっていた。
今思うと、それは「自然数を仮定して実数を構成していた」のだ。
しかし、そんなイメージはわかず、とにかく、数学世界を先生に引きずられていた感じだった。
　
最近ちょっとついた知恵では、「実数の連続性」というものがかなり大事なのではないかと思う。
で、「私の習った解析」では、それは証明された。
ので、数学アマチュアである私は、実数の連続性は導かれるものだと、ずっと、
そう30年くらいはそう思っていた。
　
最近（もう10年くらい前か）、数学門前払い、いや、入門として名高い杉浦先生の
解析入門を読んでみて、それが公理になっているのにとても驚いたものである。
整理するとこうなる。
　
・私が習った解析
　　自然数の存在を仮定 → 実数を構成 → 実数の連続性を示す
・杉浦先生の解析
　　実数の公理 → 連続性は公理の1つ → 自然数を構成
　
という仕組みである。
もし、私が授業がわからなくて、アンチョコのつもりで杉浦先生の本を読んでいたら、
かなり悲惨な目にあっただろうと思うのだ。
　
一応言っておくと、私が習った解析でも杉浦先生の解析にも、「何を公理に選ぶか」で構成がかわる。
ただ、どのように構成していっても、本質は同じである。と書いてある。
しかし、素人の頭には、なかなか入ってこないのである。
「そのくらいわかれ」という声も聞こえてきそうだが、誰もが数学のプロになるわけではないのだよ。
　
ちなみに、私の解析の先生は、「授業がわかりにくければこれを読みなさい」と言って、
高木貞治先生の「数の概念」を勧めていた。
この「わかりにくい」とは、今思うと、「自然数があやしいと思うなら」であって、
普通の意味で「授業がわかりにくい」人が読んだら、絶望的になる本だった。
私はなったよ。
　
ああ、それで思い出した。
当時、「解析を勉強するなら、当然、高木先生の解析概論でしょ」という人が結構いた。
彼らの知識のソースはわからないのだが、私も影響されて、解析概論を買ってみたが、
これが授業とどう整合するのか全然わからなかった記憶がある。
すごく高かったのに（涙）。おまけにカバンにいれるとすごく重かった。
内容もあんまり覚えてないので、ここには書けない。
が、まあ、要するに「いろいろ違う（ように見える）」の一例にはなっているだろうと思う。